Я устроился на новую работу, которая предполагает командировки. Проблема в том, что у меня есть кошка и мне не с кем ее оставить. Подскажите, что можно придумать?

Автор, попросите кого-нибудь из родственников, чтобы они подержали кошку у себя до вашего приезда, не думаю, что они откажут. Только не забудьте им дать корм и лоток с наполнителем , мисочки. Или же, можете воспользоваться услугами зоогостиницы для кошек https://catislove.ru/zaselenie-v-zoogostinitsu-dlya-koshek-cat-is-love-v-moskve/

Я оставляю своего кота на родителей, когда надо уехать. Но, он не очень любит с ними оставаться, норовит укусить и не дает себя погладить.

Лучше всего отдать кота в зоогостиницу, хоть будете уверенны, что с ним хорошо обращаются. Я всегда так делаю, тем более, что цена вполне приемлемая.